首页 > 知识库 > 正文

单摆运动专业术语是什么 单摆运动是什么意思

单摆是能够产生往复摆动的一种装置,将无重细杆或不可伸长的细柔绳一端悬于重力场内一定点,另一端固结一个重小球,就构成单摆。若小球只限于铅直平面内摆动,则为平面单摆,若小球摆动不限于铅直平面,则为球面单摆。单摆运动的近似周期公式为:T=2π√(L/g)。其中,L为摆长,g为当地的重力加速度。基本信息 中文名:单摆 英文名:Simple pendulum 拼音:dān bǎi

定义

周期

在非常小的振幅(角度)下,单摆做简谐运动的 周期跟摆长的 平方根 成正比,跟重力加速度的平方根成反比,跟 振幅 摆球 的质量无关。

公式

单摆是一种理想的物理模型,它由理想化的摆球和摆线组成.摆线由质量不计、不可伸缩的细线提供;摆球密度较大,而且球的半径比摆线的长度小得多,这样才可以将摆球看做质点,由摆线和摆球构成单摆.在满足偏角小于10°的条件下,单摆的周期为

单摆在一个振动周期内的受力分析示意图

单摆在一个振动周期内的受力分析示意图

单摆

单摆

单摆

单摆

从公式中可看出,单摆周期与振幅和摆球质量无关.从受力角度分析,单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向并且指向平衡位置的分力,偏角越大,回复力越大,加速度(gsinθ )越大,在相等时间内走过的弧长也越大,所以周期与振幅、质量无关,只与摆长l和重力加速度g有关.在有些振动系统中l不一定是绳长,g也不一定为9.8m/ ,因此出现了等效摆长和等效重力加速度的问题.

物理上有些问题与单摆类似,经过一些等效可以套用单摆的周期公式,这类问题称为“等效单摆”.等效单摆在生活中比较常见.除等效单摆外,单摆模型在其他问题中也有应用.

说明

单摆在一个振动周期内速度与加速度的变化

单摆在一个振动周期内速度与加速度的变化

质点振动系统的一种,是最简单的摆。绕一个悬点来回摆动的物体,都称为摆,但其周期一般和物体的形状、大小及密度的分布有关。但若把尺寸很小的质块悬于一端固定的长度为l且不能伸长的细绳上,把质块拉离平衡位置,使细绳和过悬点铅垂线所 成角度小于10°,放手后质块往复振动,可视为质点的振动,其周期T只和长度l和当地的重力加速度g有关,即T和质块的质量 、形状和振幅的大小都无关系,其运动状态可用简谐振动公式表示,称为单摆。如果振动的角度大于10°,则振动的周期将随振幅的增加而变大,就不成为单摆了。如摆球的尺寸相当大,绳的质量不能忽略,就成为复摆,周期就和摆球的尺寸有关了。

动力学方程

由牛顿力学,单摆的运动可作如下描述。

首先我们可以得到,重力对单摆的力矩为

单摆

单摆

其中m为质量,g是重力加速度,l是摆长,θ是单摆与竖直方向的夹角,注意,θ是矢量,这里取它在正方向上的投影。

我们希望得到摆角θ的关于时间的函数,来描述单摆运动。由角动量定理我们知道,

单摆

单摆

单摆

单摆

单摆

单摆

其中 是单摆的转动惯量, 是角加速度。

于是化简得到

单摆

单摆

(1)

小角近似周期

我们知道(1)式是一个非线性微分方程。所以严格地说上面的(1)式描述的单摆的运动并不是简谐运动。

单摆

单摆

单摆

单摆

单摆

单摆

单摆

单摆

单摆

单摆

不过,在θ比较小时,近似地有sin θ ≈ θ。(即 。)因而此时(1)式就变为 ,这是一个二阶常系数线性齐次微分方程,其通解为 ,式中A. 为任意常数,由初值条件给定。而

于是单摆的非线性的运动被线性地近似为简谐运动

单摆

单摆

单摆

单摆

一般在高考之类的考试中,认为10°以下可以这样近似。

事实上5°≈0.087266 rad,sin 5°≈0.087155,二者相差只有千分之一点几,是十分接近的。在低精度的实验中,这种系统误差可以忽略不计(因为实验操作中的偶然误差就比它大)。但如果换成25°,误差高达百分之三,就不宜再看成是简谐振动了。

由于正弦函数的性质,这个近似是角度越小,越精确,角度越大越不精确。如果角度很大(比如60度处,误差高达17%),就完全不能说它是简谐振动了。

小角近似公式和实际曲线比较

小角近似公式和实际曲线比较

伽利略第一个发现摆的振动的等时性,并用实验求得单摆的周期随长度的二次方根而变动。惠更斯制成了第一个摆钟。单摆不仅是准确测定时间的仪器,也可用来测量重力加速度的变化。惠更斯的同时代人天文学家J.里希尔曾将摆钟从巴黎带到南美洲法属圭亚那,发现每天慢2.5min,经过校准,回巴黎时又快2.5min。惠更斯就断定这是由于地球自转引起的重力减弱。I. 牛顿则用单摆证明物体的重量总是和质量成正比的。直到20世纪中叶,摆依然是重力测量的主要仪器。

真实周期推导

上面提到是角度比较小的时候单摆的近似公式,但科学是严谨的,在此补充在任意角度下单摆的周期公式。

在此之前先提出两个概念(这里用Mathematica的定义):

单摆

单摆

第一类不完全椭圆积分:

单摆

单摆

第一类完全椭圆积分:

下面我用微分方程进行讨论,读者可以尝试用动能定理进行计算,可以更简洁地得到其特解。

设摆长为l,摆线与竖直方向的夹角为θ,那么单摆的运动公式为:

单摆

单摆

单摆

单摆

单摆

单摆

令 ,于是有 上式改写成:

单摆

单摆

这是一个可分离变量的微分方程!分离变量:

单摆

单摆

其通解为

单摆

单摆

单摆

单摆

单摆

单摆

给定初始条件 (0≤α≤π), ,则其特解为:

单摆

单摆

所以考虑t(t是四分之一周期):

单摆

单摆

单摆

单摆

设 ,则

单摆

单摆

又考虑到

单摆

单摆

便可以化简得到

单摆

单摆

按照前面的定义,便有

单摆

单摆

此处的α就是常说的摆角。

相关差别

直观差别图如右:

周期差别

周期差别

利用电脑软件,我们列出近似公式与真实公式的差别。

下面数据皆是相对误差:相对误差=(真实值-近似值)/真实值

每一行,摆角相差1度,自0取到180度。

0

0.0019038558531896002%

0.0076153871712633745%

0.01713448526148856%

0.030460969075184717%

0.047594585366650885%

0.06853500891589595%

0.09328184281540482%

0.12183461882124084%

0.1541927977688524%

0.1903557700540208%

0.23032285617945628%

0.27409330736761933%

0.32166630624041737%

0.37304096756649924%

0.42821633907694606%

0.48719140235023334%

0.549965073767417%

0.6165362055385787%

0.686903586801647%

0.7610659447947971%

0.839021946103721%

0.92077019798515%

1.006309249768103%

1.0956375943344412%

1.188753669680396%

1.2856558605608566%

1.386342500218304%

1.490811872198394%

1.599062212254311%

1.7110917103421366%

1.8268985127096076%

1.9464807240807704%

2.0698364099391786%

2.1969635989124314%

2.3278602852610035%

2.4625244314744745%

2.600953970978439%

2.7431468109555626%

2.8891008352844154%

3.038813907599942%

3.192283874479603%

3.3495085687594606%

3.5104858129847005%

3.675213422999331%

3.843689211680047%

4.0159109928195225%

4.191876585164665%

4.371583816615697%

4.555030528592199%

4.742214580572629%

4.933133854814164%

5.127786261260084%

5.326169742642323%

5.5282822797872475%

5.734121897133129%

5.9436866684683%

6.156974722899461%

6.3739842510601274%

6.594713511569824%

6.819160837755173%

7.04732464464473%

7.279203436250061%

7.514795813146305%

7.754100480366246%

7.99711625562274%

8.243842077875229%

8.494277016257039%

8.748420279381131%

9.006271225043092%

9.2678293703413%

9.533094402235417%

9.802066188565687%

10.074744789556986%

10.351130469833013%

10.63122371096772%

10.915025224602775%

11.202535966161768%

11.493757149193899%

11.788690260382037%

12.087337075252421%

12.389699674625776%

12.695780461852351%

13.00558218087636%

13.319107935178396%

13.636361207647948%

13.957345881441757%

14.282066261887804%

14.610527099499105%

14.942733614166162%

15.278691520602091%

15.61840705511994%

15.961887003827869%

16.309138732334322%

16.660170217062607%

17.014990078281997%

17.373607614971124%

17.7360328416386%

18.10227652723615%

18.472350236310504%

18.846266372552723%

19.224038224916786%

19.605680016494205%

19.991206956347447%

20.380635294522822%

20.773982380483087%

21.171266725221678%

21.57250806734433%

21.977727443430435%

22.386947263015642%

22.800191388569722%

23.21748522087999%

23.63885579029045%

24.06433185429185%

24.493944002007527%

24.92772476617582%

25.365708743292277%

25.807932722644754%

26.254435825053335%

26.70525965221522%

27.160448447654655%

27.62004927039044%

28.08411218256101%

28.552690452391587%

29.025840774051932%

29.50362350614023%

29.986102930741776%

30.47334753525516%

30.965430319458193%

31.462429130607322%

31.96442702973461%

32.47151269273426%

32.98378085032637%

33.50133277156177%

34.0242767962028%

34.552728922099824%

35.086813454603366%

35.62666372613477%

36.17242289531702%

36.72424483658309%

37.282295132982576%

37.84675218706157%

38.41780846727546%

38.99567191050804%

39.58056750504079%

40.172739082901636%

40.77245135613077%

41.37999223839477%

41.99567550190461%

42.61984383019676%

43.25287234061159%

43.895172667035965%

44.54719771472042%

45.20944722616039%

45.88247433208869%

46.56689330724679%

47.263388810526784%

47.972726968588255%

48.69576876871157%

49.433486371410815%

50.18698315232789%

50.95751856030661%

51.7465392710714%

52.55571868071775%

53.38700761086381%

54.24270033499423%

55.12552192866632%

56.03874591621829%

56.986355981090206%

57.97327350290041%

59.00568652891076%

60.09154082585585%

61.24130132912596%

62.46918883739732%

63.795307588848516%

65.24958544634976%

66.87982354979094%

68.77058140504862%

71.09802414324294%

74.36597547372776%

100%

应用

当单摆周期T=2s时,由公式推导,摆长大约为1m,这种情况的单摆叫做秒摆。秒摆常见于摆钟上。

秒摆示意图

秒摆示意图

注意:在当前高中阶段,一般研究摆角小于10°的情况(即近似看做简谐运动),且高中阶段教材中仅涉及在实验中推测公式,不涉及单摆周期公式的推导(因为需要涉及到高等数学)。

为您推荐可能与“单摆运动”相关的内容:

单摆

单摆是能够产生往复摆动的一种装置,将无重细杆或不可伸长的细柔绳一端悬于重力场内一定点,另一端固结一个重小球,就构成单摆。若小球只限于铅直平面内摆动,则为...

单摆颚式破碎机

3、安装的定颚板不够牢固,在颚式破碎机长时间工作产生的振动中的松动,造成定颚板松动发生上下窜动,撞击机架前墙齿板搭子,造成机架损坏。 2、注重润滑:颚式...

荡秋千[中国古代北方少数民族创造的一种运动]

秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动。春秋时期传入中原地区,因其设备简单,容易学习,故而深受人们的喜爱,很快在各地流行起来。汉代以后,秋千逐渐成为清...

科学:物质运动的形态和规律

《科学:物质运动的形态和规律》是王保林、窦广采主编,2008年7月由郑州大学出版社出版的图书。

简谐运动

力等效k=k,但平衡位置为kx=mg时所在位置。单摆运动周期 简谐运动...太大的情况(高中课本认为小于5°均可)下,单摆的运动可以近似地视为简谐运动...的运动不一定快。七、单摆的摆长短,周期不一定小单摆振动的周期不但与摆长有关...

中学物理实验改进设计与规范操作实用全书(下卷)

作品目录第一部分  中学物理实验教学及其改革  中学物理教学与实验  实验在物理教学中的作用  实验教学系统的结构  实验教学系...

非线性方程

]。单摆主条目:单摆单摆(v 表示速度向量;a 表示加速度向量)非线性问题的一个典型的例子,就是重力作用之下单摆的运动。单摆的运动可由以下的方程来描述...方程 非线性方程 近似后的方程变成了简谐振荡,因此当单摆运动到底部附近时...

克里斯蒂安?惠更斯

时钟上的摆的运动的几何证明》(1673)中提出著名的单摆周期公式,T...等.   【注:当利用高等数学研究单摆的运动就会看到,这个公式是个近似公式...曾经证明了单摆运动与物体在光滑斜面上的下滑运动相似,运动的状态与位置有关...

伽利略·伽利雷

后用线悬铜球作模拟(单摆)实验,确证了微小摆动的等时性以及摆长对周期的影响...。在此时期,他深入而系统地研究了落体运动、抛射体运动、静力学、水力学以及...自转两种运动。但这时他对柏拉图的圆运动最自然最完善的思想印象太深,以致...

声明:本网内容收集自互联网,旨在传播知识仅供参考,不代表本网赞同其观点,文字及图片版权归原网站所有。

九只猫mklveeX1nGtvrcwfnliao8966wancj6
猜你喜欢
热门推荐
今日推荐 更多
猜你喜欢
北京快3